Frações

As frações são uma maneira matemática de representar uma relação entre determinada parte de um todo.

Entretanto, esse todo deve ser dividido em unidades iguais para que se possa medir a parte como fragmento de um inteiro.

Por isso, as frações têm fortes ligações com o conceito de divisão. Na verdade, é uma outra maneira de representar uma divisão. Então, apresentações à parte, vamos aprender mais sobre frações?

Essa barra de chocolate quando inteira tinha nove partes iguais, mas agora uma das nove partes foi consumida.

Logo, podemos representar por meio de frações a parte consumida e a parte que ainda não foi consumida da seguinte maneira:

Note que escrever a fração é bem simples, basta escrever no numerador (número de cima) a parte e no denominador (número de baixo) a barra inteira.

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O que são frações equivalentes?

Ao dividirmos 2 por 4, obtemos como resposta 0,5. Do mesmo modo, se fizermos a divisão de 8 por 16, também teremos 0,5 como resposta.

Podemos escrever tais divisões usando as seguintes frações:

$$\frac{2}{4},\qquad\frac{8}{16}$$

E uma vez que elas representam o mesmo valor, então temos que elas são iguais entre si:

$$\frac{2}{4}=\frac{8}{16}$$

Dizemos assim que as frações acima são frações equivalentes. Para se obter as frações equivalentes de uma já dada, basta multiplicarmos (ou dividirmos), pelo mesmo número tanto no numerador quanto no denominador.

Por exemplo, a partir da fração

$$\frac{7}{3}$$

se multiplicarmos tanto em cima quanto embaixo por 2, obtemos 

$$\frac{7\cdot2}{3\cdot2}=\frac{14}{6}$$

a qual é uma fração equivalente a \(\dfrac{7}{3}\). Do mesmo modo, podemos obter uma outra ao multiplicarmos por 5:

$$\frac{7\cdot5}{3\cdot5}=\frac{35}{15}$$

É possível verificar com a ajuda de uma calculadora que as divisões acima são todas iguais a \(2,333\ldots\), isto é

$$\frac{7}{3}=\frac{14}{6}=\frac{35}{5}=2,333\ldots$$

Além disso, como podemos multiplicar por qualquer número inteiro, então dada uma fração, existem infinitas frações equivalentes a ela.

Quais são os tipos de frações?

É válido notar que pelo conceito inicial do assunto, frações são dadas sempre em relação a um inteiro (todo), então, seria lógico que o numerador fosse menor que o denominador nesse sentido.

Apesar disso, podemos representar uma fração com numerador maior que o denominador, elas são chamadas de frações impróprias. 

Em contrapartida, as frações com numerador maior que o denominador são denominadas próprias. Além disso, toda fração imprópria pode ser transformada em uma fração mista.

Frações próprias

Têm o numerador menor que o denominador.

Exemplo:  

Frações impróprias

Têm o numerador maior que o denominador.

Exemplo:      

Frações mistas

Faz a imprópria ter uma parte inteira e uma parte com fração própria. Utilizaremos as frações impróprias acima para representar com mistas.

Exemplo:      

Frações decimais

Chamamos de frações decimais aquelas cujo denominador é uma potência de 10, ou seja, é igual a 10 ou 100 ou 1000 e assim por diante.

Alguns exemplos de frações decimais são:

$$\frac{3}{10},\qquad\frac{15}{100},\qquad\frac{4}{1000},\qquad\frac{277}{10000}$$

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Como transformar as frações?

Confira as etapas referentes a cada processo de transformação abaixo.

Frações impróprias em mistas e vice-versa

Note, primeiramente, que a representação consiste em um número à esquerda, parte inteira, e uma fração própria à direita, parte fracionária.

Em seguida, lembre-se que a fração é uma representação alternativa à divisão, usaremos isso para chegar na fração mista.

Por exemplo: na fração

$$\frac{12}{9}$$

quando dividimos 12 por 9, obtemos quociente 1 e resto 3. Utilizaremos esses resultados para fazermos nossa fração mista, o resto ficará na parte da fracionária e o quociente na parte inteira.

Outro exemplo: a fração

$$\frac{45}{20}$$

. Dividindo 45 por 20 obtemos quociente 2 e resto 5, logo, temos como resultado:

Frações em números decimais e vice-versa

Para transformar uma fração em número decimal, basta fazer a divisão que ela representa.

Por exemplo, a fração

$$\frac{3}{5}$$

é a representação da divisão de 3 por 5. Efetuando tal operação, obtemos 0,6 como resposta. Deste modo,

$$\frac{3}{5}=0,6$$

O processo inverso é mais simples. Para escrever o número decimal 1,2 em forma de fração, note que há apenas um número depois da vírgula, neste caso, teremos como denominador o número 1 seguido de um zero, ou seja:

$$1,2=\frac{12}{10}$$

Nota-se que o numerador é “igual” ao número decimal inicial sem a vírgula.

Do mesmo modo, 24,35 possui dois números depois da vírgula, então o denominador da fração terá dois zeros depois do 1:

$$24,35=\frac{2435}{100}$$

Como reduzir frações?

Já notou que 20 dividido por 4 tem o mesmo resultado que 40 dividido por 8?

Isso ocorre porque essas divisões são todas equivalentes a divisão de 5 por 1. Representando por frações teremos:

Todas essas frações são redutíveis até a última fração que é a irredutível (não dá para reduzi-la).

Para chegar na fração irredutível devemos reduzir a fração dada até não ser aritmeticamente possível.

Reduzir é achar os fatores comuns ao numerador e ao denominador e simplificá-los, como no exemplo:

Verificamos que 8 era o fator em comum e o simplificamos, sempre indo de acordo com o conceito de que frações são divisões (8 dividido por 8 é 1). Vejamos outro exemplo:

Como calcular uma fração?

Multiplicação de fração

Basta multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Tal processo é feito independentemente se os denominadores das frações são (ou não) iguais entre si. Exemplos:

Divisão de fração

Basta repetir a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda. Exemplos:

Note que no primeiro exemplo já aplicamos diretamente o conceito de redução de frações.

Além disso, assim como nas multiplicações de frações, as divisões podem ser feitas diretamente tanto entre frações de mesmo denominador quanto entre aquelas cujos denominadores são diferentes entre si.

Soma e subtração de fração

Só podemos somar/subtrair se os denominadores forem iguais, por isso para realizar tais operações seguimos o seguinte método. O método consiste em:

• Calcular o MMC entre os denominadores;
• Trocar os denominadores antigos pelo MMC;
• Dividir o denominador atual pelo denominador anterior e multiplicar cada numerador pelos respectivos resultados;
• Somar ou subtrair os novos numeradores.

Exemplos

Com denominadores iguais:

Com denominadores diferentes:

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