Triângulo Equilátero

Classificamos um triângulo como equilátero quando os seus três lados são congruentes (isto é, iguais). 

Essa classificação é feita a partir dos lados do triângulo, desse modo, podemos dividi-lo também em:

• escaleno (três lados não congruentes, ou seja, todos os lados têm medidas diferentes entre si);
• isósceles (dois lados congruentes, ou seja, os dois lados têm a mesma medida). 

Repare que todo triângulo equilátero também é um triângulo isósceles!

Classificação do triângulo quanto aos lados.

Propriedades

O triângulo equilátero possui algumas propriedades interessantes, vamos conhecê-las!

Triângulo equilátero.

• Todos os ângulos medem 60º, como mostra a figura 2. 

Triângulo equilátero com sua bissetriz e mediana relativa ao vértice C.

• A bissetriz de um ângulo também é a mediana em relação ao lado oposto. Lembrando que a bissetriz é a semirreta que divide o ângulo pela metade e a mediana é a reta que sai de um vértice do triângulo e termina na metade do lado oposto a este vértice. Observe a figura 3, onde a bissetriz e a mediana são o segmento \(\overline{CM}\).
• Repare que a mediana \(\overline{CM}\) também é a altura relativa ao lado \(\overline{AB}\) do triângulo. Assim, já que é formado um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras quando necessário.

Triângulo equilátero e suas medianas.

• Na figura 4, vemos a interseção das três medianas de um triângulo equilátero. O ponto de encontro delas é o baricentro em qualquer tipo de triângulo, porém, no equilátero, esse ponto também é o ortocentro e o incentro.
• As outras propriedades que valem para qualquer triângulo valem, obviamente, também para o equilátero. Por exemplo, a soma dos ângulos internos deve ser igual a 180º e a área é calculada pelo produto da base pela altura dividido por 2.

Área e perímetro

Como comentamos, a área de qualquer triângulo é calculada a partir do produto entre a base e a altura dividido por dois, certo?

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

Essa fórmula, obviamente, é válida no triângulo equilátero. Contudo, neste caso, nós podemos adaptá-la.

Utilizando o triângulo retângulo formado no triângulo equilátero.

\(sen \ 60^{\circ}=\frac{CO}{H}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{l}\rightarrow h=\frac{l\sqrt{3}}{2}\)

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\rightarrow A=\frac{b\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}}{2}\rightarrow \textrm{como a base \'e um lado do tri\^angulo, ent\~ao b=l}\rightarrow A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\)

Ok! Provamos então que a altura e a área de um triângulo equilátero podem ser dadas por:

\(h=\frac{l\sqrt{3}}{2}\)

\(A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\)

Mas, e o perímetro? Fácil! O perímetro é a soma dos lados de uma figura. Assim, o perímetro “p” do triângulo equilátero é:

\(p=l+l+l\rightarrow p=3l\)

Exemplo 1) Calcule a área e o perímetro do triângulo a seguir.

Solução: O triângulo possui dois ângulos iguais a 60º. Assim, concluímos que o terceiro ângulo também mede 60º, já que a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 180º. Assim, podemos concluir também que o triângulo é equilátero. Como ele é equilátero seus lados são iguais, portanto, nós podemos igualá-los para determinar o valor de x e y:

\(3x+1=2x+3\rightarrow 3x-2x=3-1\rightarrow x=2\)

\(y=3x+1\rightarrow y=3\cdot 2+1\rightarrow y=l=7\)

Assim, o lado do triângulo mede 7 unidades. Podemos, enfim, calcular a área e o perímetro:

\(A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{7^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{49\sqrt{3}}{4}\)

\(p=3l=3\cdot 7=21\)

Fórmulas