Trapézio

Você já deve ter se deparado com vários problemas que envolvem trapézios e, muitas vezes, ter se perguntado como resolvê-los da melhor forma possível. É isso que vamos abordar a partir de agora.

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O que é um trapézio?    

Um trapézio é um quadrilátero que possui um par de lados opostos paralelos. Na figura a seguir, temos o trapézio ABCD com os lados AB e CD paralelos entre si.

É importante destacar que estamos trabalhando com uma figura geométrica plana (os pontos A, B, C e D encontram-se nos mesmo plano) e convexa (todos os ângulos internos são menores que 180º)

Elementos de um trapézio

A tais lados paralelos, damos o nome de bases do trapézio. Na figura abaixo, o lado AB é a base menor, enquanto o lado CD é a base maior do trapézio. Além disso, os outros dois lados AD e BC são os lados oblíquos do trapézio.

A menor distância entre as bases é chamada de altura do trapézio.

Os segmentos AC e BD são as diagonais do trapézio.

Tipos de trapézio    

Existem três maneiras de se classificar um trapézio de acordo com seus ângulos internos e a medida dos seus lados:

Trapézio retângulo

Um trapézio retângulo é aquele que possui dois ângulos internos retos, ou seja, com medidas iguais a 90º.

Uma particularidade do trapézio retângulo se dá no fato de que um dos lados oblíquos coincide com a altura do trapézio. Na figura acima, tal particularidade ocorre no lado AD. Já os ângulo B e C são colaterais internos, sendo, portanto, suplementares (B + C = 180º).

Trapézio isósceles    

Um trapézio isósceles é aquele cujos lados oblíquos são congruentes entre si, isto é, possuem a mesma medida.

Na figura acima, temos AD=BC. Veremos a seguir que os ângulos formados em cada base também terão a mesma medida (A = B e C = D). 

Trapézio escaleno

Um trapézio escaleno tem os quatro lados com medidas distintas.

Desta forma, os quatro ângulos também serão diferentes entre si.

As propriedades do trapézio    

As propriedades a seguir estão relacionadas com os ângulos internos e com o lados de um trapézio.

Ângulos internos de um trapézio

Por ser tratar de um quadrilátero convexo, então a soma dos ângulos internos de um trapézio é igual a 360º.

Além disso, os ângulos adjacentes a um mesmo lado transverso, isto é, oblíquo, são suplementares entre si, ou seja:

Trapézio isósceles

Um trapézio isósceles, como já dito, é aquele em que os lados transversais são congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida. Existem duas particularidades relacionadas ao trapézio isósceles que serão listadas a seguir:

• Os ângulos de ambas as bases são congruentes entre si:

Por consequência, dois ângulos opostos de um trapézio isósceles são suplementares, ou seja, a soma deles é igual a 180º.

• As diagonais são congruentes, isto é, possuem a mesma medida.

Exemplo:

Se num trapézio isósceles, como o ilustrado acima, o ângulo D medir 50º, então C=50º. E sendo A suplementar a D, segue que:

Vale ressaltar  que as duas propriedades acima só valem para trapézio isósceles e nada se pode afirmar quando se trata de trapézio retângulo ou de trapézio escaleno.

Cálculos do trapézio

Área    

Se B, b e h  forem, respectivamente, as medidas das base maior, base menor e altura de um trapézio, então sua área é dada por:

Ao tomarmos, por exemplo, um trapézio cujas bases medem 10 cm e 8 cm, e com altura igual a 4 cm, então sua área é dada por:

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Perímetro    

O perímetro de um trapézio pode ser encontrado efetuando-se a soma das medidas dos seus quatro lados.

Assim, podemos calcular o perímetro do trapézio anterior fazendo AB + BC + CD + AD. Muitas vezes, utilizamos o Teorema de Pitágoras para nos auxiliar no cálculo do perímetro.

Exemplo:

Calcular o perímetro de um trapézio retângulo ABCD em que AB = 10 cm, CD = 14 cm e AD = 3 cm.

Nota-se que não temos a medida do lado BC para calcular o perímetro diretamente. Porém, podemos traçar uma reta paralela ao lado AD passando pelo ponto B para nos ajudar.

Perceba que o paralelismo garante que o segmento criado terá a mesma medida de AD (3 cm) e dividirá o lado CD em duas partes, uma com a mesma medida do lado AB (10 cm) e a outra com o que falta para 14 cm (4 cm). Desta forma, temos um triângulo retângulo com catetos medindo 3 cm e 4 cm. Podemos encontrar a medida do lado BC fazendo:

x² = 3² + 4²

x² = 9 + 16

x² = 25

x = 5 cm

Logo, o perímetro do trapézio será igual a 10 + 14 + 3 + 5 = 32 cm.

Base média    

Consideremos um trapézio ABCD de bases AB e CD conforme figura a seguir.

E tomemos M o ponto médio do lado AD e N o ponto médio do lado BC.

Ao traçarmos o segmento de reta MN obtemos a chamada base média do trapézio. Destacamos que MN é paralelo à base menor e à base maior. E, além disso, podemos determinar seu comprimento a partir das medidas das bases do trapézio:

Ou seja, a medida da base média do trapézio é igual à média aritmética das medidas das base menor e maior do trapézio.

Como exemplo, suponha que as bases AB e CD de um trapézio medem, respectivamente, 5 cm e 7 cm; então a base média MN medirá:

Base média de um triângulo

Como consequência direta do teorema da base média de um trapézio, temos o equivalente em relação a um triângulo.

Considerando um triângulo ABC e tomando-se M o ponto médio do lado AB e N o ponto médio do lado AC, então o segmento MN é uma base média do triângulo, paralela ao lado BC e a sua medida é igual à metade da medida do lado BC, ou seja:

Mediana    

A mediana de um trapézio (também conhecida como mediana de Euler) é o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio.

Esta mediana pode ser encontrada efetuando-se:

Para justificar tal resultado, usaremos as ideias de base média de um trapézio e de base média de um triângulo. Trace a média MN do trapézio ABCD, que passará pelos pontos P e Q nas diagonais.

Pelo paralelismo observado nas bases médias de trapézios e triângulos, temos que MP é a base média do triângulo ABD e QN é a base média do triângulo ABC. Pensando em MN = MP + PQ + QN, podemos encontrar a medida de PQ fazendo:

PQ = MN - MP - QN

Dos resultados das bases médias, sabemos que:

MN = (AB + CD) / 2

MP = AB / 2

QN = AB / 2

Logo,

PQ = (AB + CD)/2 - AB/2 - AB/2

PQ = AB/2 + CD/2 - AB/2 - AB/2

PQ = CD/2 - AB/2

PQ = (CD - AB) / 2.

Conclusão    

Portanto, é de fundamental importância entender as características que formam um trapézio, bem como suas principais propriedades e fórmulas para resolver diversos problemas de geometria plana. 

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