Relações de Girard

As Relações de Girard são igualdades que relacionam as raízes de uma equação algébrica.

O caso mais simples e o primeiro que costumamos estudar é o de soma e produto em uma equação do segundo grau. Isto é, tomando a forma geral da equação quadrática:

$$ax^{2}+bx+c=0$$

E, se \(r_{1}\) e \(r_{2}\) forem suas raízes, então:

$$r_{1}+r_{2}=-\frac{b}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}=\frac{c}{a}$$

Evidentemente, as Relações de Girard podem ser expressadas para quaisquer equações algébricas. Porém, em geral, nos exercícios, as equações envolvidas são as de 3º e 4º graus e, em raros casos, de 5º grau.

Assim, iremos detalhar apenas as Relações de Girard para as equações algébricas de 3º e 4º graus.

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Todavia, para efeito de conhecimento, tais relações possuem um padrão em suas construções, independentemente do grau das equações.

Considerando-se uma equação algébrica de grau qualquer onde o coeficiente do expoente de maior grau é \(a\), do seguinte é \(b\), do próximo é \(c\) e assim por diante:

$$ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+dx^{n-3}+ex^{n-4}+\ldots=0$$

Então, temos que:

• As Relações de Girard são sempre dadas por frações, de modo que o denominador é igual a \(a\);
• A primeira relação de Girard é sempre a soma de todas as raízes;
• A segunda relação é igual à soma entre todos os possíveis produtos entre duas raízes;
• Já a terceira, é a soma entre todos os possíveis produtos entre três raízes;
• Tal processo segue o mesmo padrão, de modo que a última relação de Girard é igual ao produto de todas as raízes da equação;
• As Relações de Girard trocam de sinal a cada expressão, onde a primeira sempre tem sinal negativo. Deste modo, a segunda tem sinal positivo, a terceira, negativo, e assim por diante;
• A primeira relação de Girard começa com a segunda letra, isto é, \(b\); as próximas, seguem a ordem alfabética.

Usando tais afirmações, podemos construir as Relações de Girard de qualquer equação algébrica.

Relações de Girard de uma equação do 3º grau

Considerando a equação:

$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$

Com as raízes \(r_{1},r_{2}\) e \(r_{3}\), então as Relações de Girard são:

$$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}+r_{1}\cdot r_{3}+r_{2}\cdot r_{3}=\frac{c}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}$$

Relações de Girard de uma equação do 4º grau

Considerando a equação:

$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$$

Com as raízes \(r_{1},r_{2},r_{3}\) e \(r_{4}\), então as Relações de Girard são:

$$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=-\frac{b}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}+r_{1}\cdot r_{3}+r_{1}\cdot r_{4}+r_{2}\cdot r_{3}+r_{2}\cdot r_{4}+r_{3}\cdot r_{4}=\frac{c}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}+r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{4}+r_{1}\cdot r_{3}\cdot r_{4}+r_{2}\cdot r_{3}\cdot r_{4}=-\frac{d}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}\cdot r_{4}=\frac{e}{a}$$

Uma pergunta pertinente é: quando se sabe que devem ser utilizadas as Relações de Girard? Em geral, é quando o exercício fala da soma e/ou do produto entre as raízes da equação.

Por exemplo, na equação:

$$3x^{3}-2x^{2}+5x+1=0$$

Se quisermos calcular o produto das raízes, não precisamos calcular cada raiz e, ao fim, efetuar o que se pede, basta usarmos uma das Relações de Girard.

Sendo as raízes \(r_{1},r_{2}\) e \(r_{3}\), temos que o produto entre elas vale:

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}$$

Onde \(a=3\) e \(d=1\), ou seja:

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{1}{3}$$

Também podemos usar as Relações de Girard para resolver uma equação. Considerando-se:

$$x^{3}-5x^{2}+2x+4=0$$

E sabendo que uma das raízes vale 2, então podemos facilmente achar as outras duas. Chamando \(r_{1}=2\), temos que:

$$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a}\Rightarrow 2+r_{2}+r_{3}=-\frac{(-5)}{1}$$

Ou seja:

$$r_{2}+r_{3}=3$$

E ainda:

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}\Rightarrow 2\cdot  r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{4}{1}$$

Isto é:

$$r_{2}\cdot r_{3}=-2$$

Assim, para achar as raízes \(r_{2}\) e \(r_{3}\), basta resolvermos o sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} r_{2}+r_{3}=3 \\ r_{2}\cdot r_{3}=-2 \end{array}\right.$$

O que nos dá:

$$r_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2},\quad r_{3}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$$

Fórmulas

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