Produto Vetorial

Assim como é possível realizar operações matemáticas com números, é possível fazer operações com vetores. 

Em outro texto, já abordamos o produto escalar. Agora, falaremos sobre o produto vetorial, uma operação que também ocorre entre dois vetores. Se no produto escalar, o resultado era um escalar (número), no produto vetorial, o resultado será um vetor.

O produto vetorial entre vetores de módulo u e v é representado da seguinte forma:

$$ \overrightarrow {u}\times \overrightarrow {v} $$

Essa expressão pode ser lida como “u vetorial v”.

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O significado geométrico do produto vetorial

Vamos observar um exemplo, partindo de dois vetores iniciais (em azul), que resultam no seu produto vetorial (em vermelho).

Note que é possível formar um paralelogramo (em verde) tendo como base os dois vetores iniciais.

Podemos interpretar o produto vetorial como um vetor perpendicular aos dois vetores iniciais, com módulo (comprimento) numericamente igual à área do paralelogramo formado com base nos dois vetores iniciais. Essa definição pode parecer arbitrária, mas possui vastas aplicações.

Nesse sentido, podemos calcular o módulo do produto vetorial usando a fórmula da área do paralelogramo. Designando como v o módulo do produto vetorial e sabendo o menor ângulo formado entre os vetores iniciais, temos

$$ \left| \overrightarrow {v}\right| =absen\theta $$

Por ser um vetor, o produto vetorial também possui direção e sentido. A direção é sempre perpendicular ao plano formado pelos dois vetores iniciais. Já o sentido pode ser conhecido através da regra da mão direita espalmada.

Para isso, basta espalmar a mão direita, de modo que o dedo indicador forme um ângulo de 90 graus com o polegar.

Em seguida, apontam-se todos os dedos, exceto o polegar, no sentido do primeiro vetor, de modo que um giro curto com a palma da mão seja suficiente para que os dados passem a apontar no sentido do segundo vetor. Esteja atento, pois o segundo vetor deve ser atingido com a palma da mão, e não com o dorso.

Seguindo esses passos, o sentido do produto vetorial será aquele para o qual o dedo polegar estará apontando.

Note que, se a ordem dos vetores for invertida, o módulo é a direção do produto vetorial não mudam, mas seu sentido será o oposto.

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A interpretação algébrica do produto vetorial

Assim como no produto escalar, podemos visualizar a operação não só geometricamente, mas também algebricamente. Para isso, precisaremos das coordenadas dos dois vetores iniciais.

Veja o seguinte exemplo, em que calculamos o produto vetorial do seguinte par de vetores:

$$ \overrightarrow {a}=\left( 1,2,3\right) $$

$$ \overrightarrow {b}=\left( 1,2,−1\right) $$

Esses vetores também podem ser reescritos como

$$ \overrightarrow {a}=1i+2j+3k $$

$$ \overrightarrow {b}=1i+2j−1k $$

Note que não temos a informação do ângulo formado entre eles, o que torna difícil o cálculo do módulo do produto vetorial por meio da área do paralelogramo. Usaremos então o método algébrico, que consiste em calcular um simples determinante. 

Preenchemos da seguinte forma:

Na primeira linha, escrevemos os versores i, j e k;

Na segunda linha, escrevemos as coordenadas do primeiro vetor;

Na terceira linha, escrevemos as coordenadas do segundo vetor.

$$ D=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & −1 \end{vmatrix} $$

Calculando o determinante, obtemos a seguinte expressão:

$$ D=2k−2i+3j+j−2k−6i=−8i+4j+0k $$

Esse determinante nos dá o próprio produto vetorial:

$$ \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}=−8i+4j+0k $$

Observe que o produto vetorial possui três coordenadas, ou seja, está em um espaço de três dimensões, assim como os vetores iniciais.

Utilizando esse método, também é possível verificar se dois vetores são paralelos. Isso ocorrerá se, e somente se, o produto vetorial for nulo, o que faz sentido, visto que o paralelogramo formado entre esses vetores terá “área nula”.

Resumindo:

• Vetores paralelos têm produto vetorial nulo;
• Vetores ortogonais têm produto escalar nulo.

Propriedades do produto vetorial

O produto vetorial possui propriedades que podem auxiliar nos cálculos. Veja abaixo:

$$ \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}=−\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a} $$

$$ \left( k\overrightarrow {a}\right) \times \overrightarrow {b}=\overrightarrow {a}\times \left( k\overrightarrow {b}\right) $$

$$ \left( \overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\right) \times \overrightarrow {c}=\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {c}+\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c} $$

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Produto misto

O produto misto nada mais é do que uma operação de produto vetorial, seguida de uma operação de produto escalar. Dessa forma, o resultado final é um escalar.

Essa operação nos dá o volume do paralelepípedo formado com base em três vetores.

O produto misto é representado da seguinte forma:

$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) $$

A ordem não importa - o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores será sempre o mesmo.

$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) =  \overrightarrow {b}\cdot \left( \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {c}\right) = \overrightarrow {c}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}\right) $$

Exemplo

Vamos calcular o produto misto dos três vetores a seguir:

$$ \overrightarrow {a}=\left( 1,2,3\right) $$

$$ \overrightarrow {b}=\left( 1,−2,2\right) $$

$$ \overrightarrow {c}=\left( −1,1,2\right) $$

$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) $$

Calculando primeiro o produto vetorial,

$$ D=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & −2 & 2 \\ −1 & 1 & 2 \end{vmatrix} $$

$$ D=−6i−4j−k $$

Portanto,

$$ \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}=\left( −6,−4,−1\right) $$

Fazendo o produto escalar, obtemos a resposta final:

$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right)=\left( −6,−8,−3\right) $$

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