Parábola

A parábola é definida como uma cônica (assim como a circunferência, a elipse e a hipérbole), a qual é formada a partir da interseção de um plano com a superfície lateral de um cone, de forma paralela a uma geratriz.

Para entender melhor, a imagem abaixo ilustra o que acabou de ser dito:

Imagem:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Conicas2.PNG

Legenda: Parábola como seção cônica.

Propriedade da parábola

A parábola é uma curva plana, onde o conjunto dos pontos são equidistantes de um ponto dado (o qual denominamos de foco, F)  e de uma reta dada (a qual chamamos de diretriz, d).

Chamamos essa propriedade de lugar geométrico da parábola.

Legenda: Lugar geométrico da parábola.

Nesse sentido, essa propriedades nos diz que:

\(\overline{P_{1}F}=\overline{P_{1}A} \qquad \overline{P_{2}F}=\overline{P_{2}B} \qquad \overline{P_{3}F}=\overline{P_{3}C} \qquad …\)

Equação da parábola

Agora que você entendeu a propriedade da parábola, vamos ver como é o formato da sua equação.

Temos duas situações possíveis:

Ok, como já conhecemos a equação da parábola, vamos fixar o aprendizado com alguns exemplos.

Exemplo 1

Seja uma parábola com F (2; 3) e reta diretriz y=1. Determine a sua equação.

Solução: ilustrando a situação, temos:

Determinando a equação da parábola pela definição (propriedade):

\(PF=PA\rightarrow \sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=y-1\rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(y-1)^{2}\rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9=y^{2}-2y+1\rightarrow x^{2}-4x+12=4y\rightarrow y=\frac{x^{2}}{4}-x+3\)

Exemplo 2

Seja uma parábola com F (3; 0) e reta diretriz x=1. Determine a sua equação.

Solução: temos uma situação semelhante ao exemplo anterior. A diferença é que a coordenada do foco mudou, e a reta diretriz agora é x=1.

Determinando a equação da parábola pela propriedade:

\(PF=PA\rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=(x-1)\rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}-2x+1\rightarrow y^{2}+8=4x\rightarrow x=\frac{y^{2}}{4}+2\)

Determinação do vértice e do parâmetro

Toda parábola possui um vértice de coordenadas \((x_{V}; y_{V})\) e parâmetro 2p. Não ficou claro? Dê uma olhada na figura abaixo que você entenderá!

O parâmetro de uma parábola é a distância do foco até a diretriz. O vértice da parábola sempre estará localizado no ponto médio do parâmetro, como indica a figura acima.

Note, também, que a coordenada do foco é F \((x_{V}; y_{V}+p)\).

Dessa forma, podemos escrever a equação da parábola através das coordenadas do vértice e através do parâmetro 2p:

Exemplo 3

Determine o foco, o vértice e equação da diretriz da seguinte parábola \(3x^{2}-9x-5y-2=0\).

Solução: manipulando algebricamente a equação dada pelo enunciado:

\(3x^{2}-9x-5y-2=0\rightarrow x^{2}-3x-\frac{5}{3}\cdot y-\frac{2}{3}=0\rightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-\frac{5}{3}\cdot y-\frac{2}{3}=0\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}\cdot y+\frac{2}{3}+\frac{9}{4}\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}\cdot y+\frac{35}{12}\rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{3}(y+\frac{7}{4})\)

Assim, fica fácil perceber que:

• Vértice: \((\frac{3}{2};\frac{-7}{4})\)
• Parâmetro: \(4p=\frac{5}{3}\rightarrow 2p=\frac{5}{6}\)
• Foco: \((\frac{3}{2};\frac{-7}{4}+\frac{5}{12})=(\frac{3}{2};\frac{-4}{3})\)
• Diretriz: \(y+\frac{13}{6}=0\)

Exemplo 4

Determine a equação da reta tangente à parábola \(y=x^{2}\) e que seja paralela à reta y=2x+5.

Solução: como a reta tangente deve ser paralela à reta y=2x+5, então a reta tangente tem formato y=2x+a. Assim, o sistema \(\begin{cases} y=x^{2}  \\ y=2x+a \end{cases}\) possui solução única, pois como a reta é tangente, há somente um ponto onde a reta e a parábola se encontram.

Nesse sentido, igualando as equações do sistema, temos:

\(x^{2}=2x+a\rightarrow x^{2}-2x-a=0\rightarrow \Delta =(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-a)\)

Como o sistema tem solução única, o delta deve ser igual a zero:

\((-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-a)=0\rightarrow 4+4a=0\rightarrow a=-1\)

Concluímos, então, que a reta tangente a parábola possui a equação y=2x-1.

Aplicações

A parábola está intensamente atrelada ao nosso cotidiano, embora a maioria das pessoas não perceba.

Radares e antenas usam de, forma fundamental, as propriedades da parábola e, além disso, as aplicações no campo da Física, como trajetória de projéteis, fazem uso constante desse conteúdo.

Imagem:

https://pixabay.com/pt/sat%C3%A9lite-tecnologia-r%C3%A1dio-antena-2528833/

Legenda: Aplicação da parábola em antena.

Fórmulas