Operações entre matrizes

Chama-se de matriz um conjunto de números dispostos em uma tabela e distribuídos em “m” linhas e “n” colunas (com “m” e “n” \(\in \mathbb{N}^{\ast }\)).

Neste texto, veremos as operações entre matrizes, como adição, subtração e multiplicação.

Exemplo de uma matriz.

Adição e subtração

A adição e subtração de matrizes é calculada de forma simples e intuitiva. Basta somar ou subtrair os elementos correspondentes entre as matrizes, como veremos abaixo.

Mas atenção! É possível somar e subtrair apenas matrizes iguais em número de linhas e colunas, ok?

• Exemplo 1

Dada as matrizes A, B e C a seguir, encontre a matriz A+B-C:

\(A=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 16 & 9 \end{bmatrix} \qquad B=\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 11 & 6 \\ 13 & -5 \end{bmatrix} \qquad C=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 18 \\ 24 & 3 \end{bmatrix}\)

Resolução: Vamos calcular a matriz pedida pelo enunciado. Como foi dito, basta somarmos (ou subtrairmos) os elementos correspondentes entre as matrizes:

\(A+B=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 16 & 9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 11 & 6 \\ 13 & -5 \end{bmatrix}\rightarrow A+B=\begin{bmatrix} 1+(-2) & 3+1 \\ 0+11 & 6+6 \\ 16+13 & 9+(-5) \end{bmatrix}\rightarrow A+B=\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 11 & 12 \\ 29 & 4 \end{bmatrix}\)

Agora, devemos subtrair a matriz C do resultado encontrado:

\(A+B-C=\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 11 & 12 \\ 29 & 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 18 \\ 24 & 3 \end{bmatrix}\rightarrow A+B-C=\begin{bmatrix} -1-0 & 4-(-3) \\ 11-(-2) & 12-18 \\ 29-24 & 4-3 \end{bmatrix}\rightarrow A+B-C=\begin{bmatrix} -1 & 7 \\ 13 & -6 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}\)

Produto de um número por matriz

Uma matriz multiplicada por um número qualquer resulta em uma nova matriz com todos os seus elementos multiplicados por este número. Observe o exemplo abaixo:

• Exemplo 2

Determine a matriz resultante da multiplicação entre 3 e a matriz A, indicada abaixo.

\(A=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 3 \\ 0 & 14 \\ 5 & 3^{2} \end{bmatrix}\)

Resolução: fazendo os cálculos, temos:

\(3A=3\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 3 \\ 0 & 14 \\ 5 & 3^{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\cdot \frac{1}{2} & 3\cdot 3 \\ 3\cdot 0 & 3\cdot 14 \\ 3\cdot 5 & 3\cdot 3^{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & 9 \\ 0 & 42 \\ 15 & 27 \end{bmatrix}\)

Produto de matrizes

Essa é a parte mais importante do texto, sendo ela um conteúdo que geralmente aparece nos vestibulares e no ENEM.

Na multiplicação entre matrizes, é muito importante lembrar que o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Simbolicamente, podemos falar que para multiplicar as matrizes \(A_{M\times N}\) e \(B_{P\times Q}\) devemos ter \(N=P\). Assim, a matriz resultante do produto entre A e B será a matriz \(C_{M\times Q}\).

Os elementos da matriz C são obtidos por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Ok, ok, no exemplo fica mais claro!

• Exemplo 3

Determine o produto entre as matrizes A e B indicadas abaixo.

\(A=\begin{bmatrix} 5 & 13 \\ 1 & \frac{4}{3} \\ 2^{3} & 8 \end{bmatrix} \qquad B=\begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 5 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}\)

Resolução: como o número de colunas da matriz A (ou seja, 2) é igual ao número de linhas da matriz B (ou seja, 2), podemos efetuar o produto entre as matrizes. Vamos determinar o primeiro elemento da matriz C, ou seja, a matriz resultante:

\(A\cdot B=\begin{bmatrix} {\color{Red} 5} & {\color{Red} 13} \\ 1 & \frac{4}{3} \\ 2^{3} & 8 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} {\color{Red}0} & -4 \\ {\color{Red}5} & \frac{2}{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{Red}5\cdot 0+13\cdot 5} & a \\ b & c \\ d & e \end{bmatrix}\)

Nessa linha de raciocínio, vamos calcular o próximo elemento:

Calculando o nosso terceiro elemento:

Repetimos esse processo até calcular todos os elementos, obtendo como resultado a matriz abaixo:

\(A\cdot B=\begin{bmatrix} 5 & 13 \\ 1 & \frac{4}{3} \\ 2^{3} & 8 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 5 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 65 & -\frac{34}{3} \\ \\ \frac{20}{3} & -\frac{28}{9} \\ \\ 40 & -\frac{80}{3} \end{bmatrix}\)

Repare que a matriz resultante tem dimensões 3x2, pois o número de linhas de A é 3 e o número de colunas de B é 2.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Vamos listar três propriedades que são muito importantes no que diz respeito a multiplicação de matrizes:

• Associativa:

Considere as matrizes \(A_{M\times N}, B_{N\times P} e C_{P\times Q}\), então:

\(ABC=A(BC)=(AB)C\)

• Distributiva:

Considere as matrizes \(A_{M\times N}, B_{M\times N} e C_{N\times P}\), então:

\((A+B)C=AC+BC\)

• Não comutativa: 

\(AB\neq BA\)

Vale ressaltar que além da não comutatividade entre o produto de matrizes, é possível que, mesmo que AB exista, BA não exista.

Fórmulas