MMC - Mínimo Múltiplo Comum

O MMC, isto é, o mínimo múltiplo comum entre dois (ou mais) números, é, como próprio nome diz, o menor número diferente de zero que seja múltiplo desses números.

Por exemplo, multiplicando-se 2 pelos inteiros positivos, obtemos os múltiplos de 2 que são

$$0,2,4,6,8,10,12,\ldots$$

E, do mesmo modo, temos os múltiplos de 3:

$$0,3,6,9,12,15,\ldots$$

Claramente, depois do 0, o menor número que é múltiplo de ambos é 6. Escrevemos, então:

$$\MMC(2,3)=6$$

Do mesmo modo, podemos obter o MMC entre 4, 8 e 16:

• Os múltiplos de 4 são: $$0,4,8,12,16,20,\ldots$$
• Os múltiplos de 8, encontrados através do produto de 8 pelos inteiros positivos, valem: $$0,8,16,24,32,\ldots$$
• E os múltiplos de 16 são: $$0,16,32,48,64,\ldots$$

Portanto, podemos ver que o menor múltiplo (diferente de zero) que é comum a 4, 8 e 16 vale 16, ou seja:

$$\MMC(4,8,16)=16$$

É evidente que tal método, dependendo dos números que estão sendo calculados, pode acabar sendo um tanto trabalhoso. Por isso, utilizamos a decomposição simultânea em fatores primos, que será exemplificada a seguir.

Decomposição simultânea em fatores primos

Explicaremos tal método a partir de um exemplo. Vamos calcular o MMC entre os números 12, 20 e 32.

• Assim como na decomposição em fatores primos, colocam-se os números a serem fatorados à esquerda de uma reta vertical, enquanto que à direita, serão colocados os fatores primos:
  $$\begin{array}{ccc|c} 12, & 20, & 32 & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ \end{array}$$
• Inicia-se colocando o menor número primo que divide pelo menos um dos números à direita. Neste caso é 2 que, em particular, divide todos os números:
  $$\begin{array}{ccc|c} 12, & 20, & 32 & 2 \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ \end{array}$$
• E faz-se, então, a divisão de cada número por 2:
  $$\begin{array}{ccc|c} 12, & 20, & 32 & 2 \\ 6, & 10, & 16 & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ \end{array}$$
• Do mesmo modo, toma-se o menor primo que divide pelo menos um dos números. Novamente temos que ele é 2. E efetuando-se a divisão, obtemos:
  $$\begin{array}{ccc|c} 12, & 20, & 32 & 2 \\  6, & 10, & 16 & 2 \\ 3, &  5, &  8 & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ \end{array}$$
• Mais uma vez, o menor primo que divide pelo menos um dos números é 2, visto que ele divide o 8; como ele não divide nem 3 e nem 5, apenas copiamos estes números na linha a seguir:
  $$\begin{array}{ccc|c} 12, & 20, & 32 & 2 \\ 6, & 10, & 16 & 2 \\ 3, & 5, & 8 & 2 \\ 3, & 5, & 4 & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \\ \end{array}$$
• E após 2 passos, chegamos ao número 1 na coluna do 32:
  $$\begin{array}{ccc|c} 12, & 20, & 32 & 2 \\  6, & 10, & 16 & 2 \\ 3, & 5, & 8 & 2 \\ 3, & 5, & 4 & 2 \\ 3, & 5, & 2 & 2 \\ 3, & 5, & 1 & \\ & & & \\ & & & \\ \end{array}$$
• Agora, o menor primo que divide um dos números é 3; como 3 não divide 5, apenas o copiamos:
  $$\begin{array}{ccc|c} 12, & 20, & 32 & 2 \\ 6, & 10, & 16 & 2 \\ 3, & 5, & 8 & 2 \\ 3, & 5, & 4 & 2 \\ 3, & 5, & 2 & 2 \\ 3, & 5, & 1 & 3 \\ 1, & 5, & 1 & \\ & & & \\ \end{array}$$
• E, por fim, o menor primo que divide 5 é ele próprio:
  $$\begin{array}{ccc|c} 12, & 20, & 32 & 2 \\ 6, & 10, & 16 & 2 \\ 3, & 5, & 8 & 2 \\ 3, & 5, & 4 & 2 \\ 3, & 5, & 2 & 2 \\ 3, & 5, & 1 & 3 \\ 1, & 5, & 1 & 5 \\ 1, & 1, & 1 & \\ \end{array}$$
• O processo termina quando fatoramos todos os números à direita, ou seja, quando obtemos 1 em todas as colunas. O MMC entre eles será o produto dos números primos à direita da linha vertical, isto é:
  $$\MMC(12,20,32)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5=480$$

Propriedades

Há algumas propriedades de MMC que nos auxiliam bastante durante o seu cálculo:

• O MMC entre números primos entre si é igual ao produto deles;
  Por exemplo, 7 e 20 são primos entre si, logo
  $$\MMC(7,20)=7\cdot20=140$$
• O MMC entre números que são múltiplos entre si é igual ao maior deles;
  Os números 6, 24 e 48 são múltiplos entre si, onde o maior deles vale 48, assim:
  $$\MMC(6,24,48)=48$$
• E há ainda uma terceira envolvendo o MMC e o MDC entre dois números:
  $$\MMC(a,b)=\frac{a\cdot b}{\mdc(a,b)}$$