Funções pares e ímpares

Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria que elas apresentam. Confira, a seguir, o que são as funções pares e ímpares e entenda as suas diferenças.

O que é função par?

Dizemos que uma função \(f\) é uma função par se, para todos os pontos \(x\) do seu domínio, for satisfeita a igualdade:

$$f(x)=f(-x)$$

Por exemplo, tomemos a função:

$$f(x)=3x^{2}+4$$

Temos que:

$$f(-x)=3(-x)^{2}+4=3x^{2}+4$$

Como todo número real ao quadrado é sempre positivo, claramente \(f(x)=f(-x)\), ou seja, \(f\) é par.

O gráfico de uma função par

O gráfico de uma função par é sempre simétrico em relação ao eixo \(y\).

Se tomarmos, por exemplo, \(f(x)=x^{2}\), que é uma função par, podemos ver que, de fato, existe uma simetria em relação ao seu gráfico no eixo das ordenadas:

O que é função ímpar?

Uma função \(f\) será classificada como uma função ímpar se, para todos os pontos do seu domínio, a igualdade abaixo for satisfeita:

$$f(x)=-f(-x)$$

Um exemplo é a função:

$$f(x)=x^{3}$$

Se tomarmos \(f(-x)\), obtemos:

$$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}$$

Como \(f(x)=x^{3}\), segue que:

$$f(-x)=-f(x)$$

Ou seja: \(f(x)=x^{3}\) é uma função ímpar.

O gráfico de uma função ímpar

A curva que representa o gráfico de uma função ímpar é simétrica em relação à origem do plano cartesiano.

Ilustramos abaixo o gráfico da função \(f(x)=\sin(x)\), que é uma função ímpar. Além disso, pode-se notar a simetria em relação ao ponto \((0,0)\).

Operações entre funções pares e ímpares

Pode-se mostrar facilmente, pela definição, que a soma de duas funções pares é uma função par. Além disso, o produto de duas funções pares também é uma função par.

Agora, usando a definição de função ímpar, podemos compreender que a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar. Porém, o produto de duas funções ímpares é uma função par.

Se tomarmos as funções ímpares \(f(x)=x\) e \(g(x)=x^{3}\), temos que:

$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=x\cdot x^{3}\Rightarrow h(x)=x^{4}$$

Ou seja, o produto será uma função par.

Temos, assim, um resultado que nos auxilia bastante:

• \(f(x)=x^{\text{número par}}\) é uma função par. Por exemplo \(f(x)=x^{2}, f(x)=x^{4}, f(x)=x^{6}\) etc.
• \(f(x)=x^{\text{número ímpar}}\) é uma função ímpar. Por exemplo \(f(x)=x, f(x)=x^{3}, f(x)=x^{5}\) etc.

Podemos somar ou subtrair um número a uma função par e ela se manterá par. Por exemplo, \(f(x)=x^{8}\) é uma função par. Deste modo:

$$g(x)=x^{8}+3$$

O resultado também será uma função par, bem como:

$$h(x)=x^{8}-5$$

Tal resultado, porém, não vale para funções ímpares. 

Uma propriedade que vale tanto para funções pares ou ímpares é que podemos multiplicá-las (ou dividi-las) por um número e a paridade se manterá. 

Por exemplo, tomemos a função:

$$f(x)=2\tan(x)$$

Esta função é ímpar, pois \(g(x)=\tan(x)\) é uma função ímpar.

Tomemos, agora esta outra função:

$$f(x)=\frac{\cos(x)}{7}$$

Essa função é par, pois \(g(x)=\cos(x)\) é par.

Ainda, as funções constantes, ou seja, do tipo $$f(x)=c$$ em que \(c\in\mathbb{R}\) são funções pares. Ou seja, as funções $$f(x)=200, \quad g(x)=-18, \quad h(x)=\frac{5}{3}$$ são todas pares.

Todavia, o produto de uma função par com uma função ímpar resulta em uma função ímpar.

Por exemplo, a função \(f(x)=\cos(x)\) é uma função par. E sendo \(g(x)=\sin(x)\) uma função ímpar, então a função $$h(x)=f(x)\cdot g(x)=\cos(x)\cdot\sin(x)$$ é uma função ímpar.

É evidente que existem funções que não são pares nem ímpares. E a única função que é par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula: \(f(x)=0\).

Fórmulas