Fórmulas trigonométricas

A relação fundamental da trigonometria é a identidade mais importante dessa área e envolve o seno e o cosseno de um mesmo ângulo.

Vamos considerar o triângulo \( ABC\) a seguir, retângulo em \( A\), isto é, \( \hat{A}=90º\).

Supondo que a medida da hipotenusa valha \( a\) e dos catetos sejam iguais a \( b\) e \( c\), então pelo Teorema de Pitágoras temos que:

$$ a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

Agora, fixemos o ângulo \( A\hat{B}C=\theta\) abaixo:

Da trigonometria do triângulo retângulo, obtemos:

• $$ \sin\theta=\frac{b}{a}$$
• $$ \cos\theta=\frac{c}{a}$$

Com isso, elevando-se ao quadrado, temos que:

$$ \sin^{2}\theta=\frac{b^{2}}{a^{2}}\quad\cos^{2}\theta=\frac{c^{2}}{a^{2}}$$

E, ao somarmos ambos, chegamos a:

$$ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}$$

Mas, pelo Teorema de Pitágoras, \( a^{2}=b^{2}+c^{2}\), ou seja

$$ \sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=\frac{a^{2}}{a^{2}}=1$$

Isto é, a relação fundamental da trigonometria nos diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo vale 1:

$$ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$$

Relações secundárias

Sabemos que:

$$ \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\quad\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

Ao dividirmos, na relação fundamental da trigonometria, os termos por \( \sin^{2}\theta\), obtemos:

$$ \frac{\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}+\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{1}{\sin^{2}\theta}\Rightarrow 1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$$

Ou seja:

$$ \csc^{2}\theta-\cot^{2}\theta=1$$

E, se dividirmos os termos da relação fundamental da trigonometria por \( \cos^{2}\theta\), concluiremos que:

$$ \sec^{2}\theta-\tan^{2}\theta=1$$

Soma e diferença de arcos

Se \( a\) e \( b\) forem dois arcos, então não é possível somar (ou subtrair) as suas razões trigonométricas separadamente, isto é:

$$ \sin(a+b)\neq\sin\sin(a)+\sin(b)$$

O mesmo ocorre envolvendo o cosseno e a tangente da soma/subtração. Para poder calcular, usamos as fórmulas da soma e da diferença de dois arcos.

Para o seno da soma e da diferença entre dois arcos, temos:

• $$ \sin(a+b)=\sin(a)\cdot\cos(b)+\sin(b)\cdot\cos(a)$$
• $$ \sin(a-b)=\sin(a)\cdot\cos(b)-\sin(b)\cdot\cos(a)$$

Se quisermos calcular o cosseno da soma e da diferença de dois arcos, então usamos:

• $$ \cos(a+b)=\cos(a)\cdot\cos(b)-\sin(a)\cdot\sin(b)$$
• $$ \cos(a-b)=\cos(a)\cdot\cos(b)+\sin(a)\cdot\sin(b)$$

E, no caso de ter de calcular a tangente da soma e da diferença entre dois arcos, fazemos o uso das seguintes fórmulas:

• $$ \tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\cdot\tan(b)}$$
• $$ \tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\cdot\tan(b)}$$

Arco duplo

Se \( a\) for um arco do círculo trigonométrico, então temos que o seu arco duplo é \( 2a\).

Se quisermos calcular o seno, o cosseno ou a tangente de um arco duplo \( 2a\) a partir do seu arco \( a\), não podemos simplesmente multiplicar o seu valor por 2, isto é:

$$ \sin(a)\neq2\cdot\sin(a)$$

Para determinarmos, então, o seno, o cosseno e a tangente do dobro de um arco \( a\), isto é, \( 2a\), basta substituirmos \( b\) por \( a\) nas fórmulas da soma de arcos apresentadas anteriormente.

Ao fazermos isso, isto é, tomando \( a=b\), obteremos as razões trigonométricas do arco duplo:

• $$ \sin(2a)=2\sin(a)\cdot\cos(a)$$
• $$ \cos(2a)=\cos^{2}(a)-\sin^{2}(a)$$
• $$ \tan(2a)=\frac{2\tan(a)}{1-tan^{2}(a)}$$

Fórmulas