Formas Geométricas

A geometria em geral se baseia em três elementos que dão os passos iniciais para o seu estudo: o ponto, a reta e o plano.

Eles são considerados dentro da geometria como entes primitivos, ou seja, não possuem uma definição. Mesmo assim, podemos exercitar nossa imaginação para criar o que esperamos de cada um.

Para o ponto, imagine um grão de areia muito pequeno, muito mesmo, algo que somente a mente humana é capaz de abstrair. Para a reta, imagine um fio muito fino e esticado, como se fossem formados por infinitos pontos. Já para o plano, imagine uma folha de papel, infinitamente grande e sem espessura, onde teríamos infinitos pontos e infinitas retas.

As formas geométricas são conjuntos de pontos, basicamente. Neste artigo, iremos classificá-las de acordo com a maneira como as construímos.

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O que são formas geométricas?    

As formas geométricas se dividem em duas categorias: as Formas Geométricas Planas e as Formas Geométricas não planas. Vamos estudar as características que as diferenciam.

Formas Geométricas Planas    

A geometria, em geral, faz o estudo de duas formas geométricas: a plana e a não plana. Mas é bom frisar que nem todas as formas planas serão objetos de estudo na geometria plana propriamente dita. 

Como o nome diz, as formas planas são aquelas que podem ser representadas totalmente em um plano, isto é, são objetos bidimensionais, que possuem assim comprimento e largura. Dentro das formas planas, há, ainda, dois modos diferentes de categorias: as formas poligonais e as não poligonais.

Dentre as poligonais se destacam os triângulos, vários tipos de quadriláteros (côncavos e convexos), pentágonos, entre outros. Já dentre as não poligonais, temos a circunferência (ou círculo), a elipse, dentre outras.

Mas antes de estudar as formas planas em si, apresentaremos o conceito de curvas e suas classificações. 

Curvas

Uma curva é, basicamente, toda união de pontos. Intuitivamente, uma curva é todo “rabisco” que podemos desenhar. É importante se atentar ao fato de que, na Matemática, um segmento de reta também é considerado uma curva.

Podemos classificar uma curva de quatro maneiras distintas: aberta ou fechada e simples ou não simples.

• Curva aberta: uma curva será aberta quando ela tiver extremos, isto é, começo e fim, conforme os exemplos abaixo.

• Curva fechada: já uma curva fechada é aquela sem extremidades. Podemos ver que uma curva fechada representa algo cíclico.

• Curva simples: dizemos que uma curva é simples se ela não tiver auto intersecção, ou seja, não cruzar entre si.

• Curva não simples: e, por fim, uma curva é definida como não simples, se ela possuir auto intersecção.

Dentro das curvas fechadas simples, temos ainda os conceitos de curvas convexas e não convexas.

Uma curva fechada simples será convexa quando dados dois pontos distintos em seu interior, conseguirmos traçar um segmento de reta com extremos nesses pontos, de tal modo que este segmento esteja totalmente no interior da curva.

Já uma curva fechada simples é não convexa se dado dois pontos do seu interior, o segmento de reta que os une não está inteiramente no interior da curva.

Polígonos

Chamamos de poligonal toda curva formada por segmentos de reta. Uma poligonal pode ser dita aberta, quando tiver extremos, ou fechadas, caso contrário. Abaixo, temos uma poligonal aberta à esquerda e uma fechada, à direita.

As formas planas poligonais as quais estudaremos são os polígonos, que são as poligonais fechadas simples e convexas, isto é, com segmentos de retas que não se cruzam entre si.

A cada segmento de reta de um polígono, damos o nome de lado, e o ponto de encontro entre dois lados de um polígono é chamado de vértice.

Abaixo, listamos os principais polígonos e seus nomes.

Também é possível se referir a estes polígonos indicando o seu número de lados em vez do seu nome, como forma de facilitar sua identificação. Desta forma é muito comum falarmos “considere um polígono de 20 lados” em vez de falarmos “considere um icoságono”. Mesmo assim, é importante saber os nomes dos principais polígonos para facilitar a resolução de exercícios. Vale ressaltar que o único polígono que sempre é convexo é o triângulo, todas as outras formas podem ter formações côncavas ou convexas.

Não Polígonos    

As formas não poligonais são aquelas formadas por curvas quaisquer que não são segmentos de reta.

Do mesmo modo como feito anteriormente, podemos classificá-las em abertas ou fechadas, simples e não simples (curvas que se cruzam).

Dentre as formas não poligonais, destaca-se a circunferência (ou círculo).

Existe uma sutil diferença entre circunferência e círculo. Ao contorno da figura, damos o nome de circunferência, imaginando uma figura “vazada”. Já à figura composta por seu contorno e seu interior damos o nome de círculo, imaginando uma figura “preenchida”. Na grande maioria dos problemas, esses termos serão trabalhados como sinônimos.

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Formas Geométricas não-Planas

Ao contrário das formas planas, as formas não-planas não podem ser representadas totalmente em único plano. São as figuras tridimensionais, também chamadas de sólidos geométricos.Parte das formas não planas será estudada na geometria espacial.    

Na figura anterior, destacamos o paralelepípedo (caso particular de prisma), o cone e o cilindro.

Poliedros    

Os poliedros são os sólidos formados por polígonos. Chamamos de face do poliedro cada polígono que o constitui.

Ao lado comum entre duas faces, damos o nome de aresta do poliedro.

E, ainda, chamamos de vértice o nome de cada ponto de encontro entre três (ou mais) arestas de um poliedro.

Na figura anterior, destacamos um cubo e um tronco de pirâmide, ambos formados por 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

Assim como os polígonos, os poliedros se dividem em convexos e não convexos (côncavos).

Convexos

Um poliedro é considerado convexo quando, dados quaisquer pontos no seu interior, ao tomarmos o segmento formado com extremidades nestes pontos, tal segmento estará contido totalmente no interior do poliedro:

Não Convexos    

Caso o segmento tenha parte formada fora do poliedro, este é classificado como poliedro não convexo (ou côncavo).

Fórmulas

As principais fórmulas que se aplicam para o estudo dos poliedros estão relacionadas com os poliedros convexos. Destacamos a Fórmula de Euler, que é uma igualdade que envolve o número V de vértices, A de arestas e F  de faces de um poliedro convexo qualquer:

V − A + F = 2

Veja que ela é verificada no caso do cubo, no qual V = 8, A = 12 e F = 6.

Não Poliedros    

Às formas não planas que não são formadas por polígonos, damos o nome de não poliedros, ou seja, são os sólidos que possuem figuras curvas. Por exemplo: cilindro, cone e esfera.

Estes sólidos geométricos são também chamados de corpos redondos e possuem fórmulas específicas para o cálculo de suas áreas e volumes. 

Fractais

Fractais são objetos em que cada parte é semelhante ao objeto como um todo. Um exemplo clássico é o fractal floco de neve (curva de Koch), que tem sua formação a partir de uma composição auto semelhante.

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