Axioma

Axiomas, também chamado de postulados, são proposições dadas e aceitas como verdadeiras sem a necessidade de haver demonstração. Ou seja, os axiomas são informações e conclusões evidentes dos conceitos primitivos. A tradução literal de axioma da palavra grega axioma fortalece a ideia de confiança.

Sistema axiomático

Um sistema axiomático é qualquer conjunto de axiomas que podem ser ligados em conjunção para logicamente derivar teoremas. Na figura abaixo é apresentado um esquema do sistema axiomático.

Figura 1 - Esquema do sistema axiomático.

O sistema começa com os conceitos primitivos, os quais são óbvios através de uma simples observação. 

Os axiomas (ou postulados) são as conclusões evidentes dos conceitos primitivos, como já foi explicado. 

Derivando para as definições, temos que elas são informações mais elaboradas que servem como explicação para novos elementos de uma determinada teoria. 

Por fim, o teorema é a informação mais complexa, já que ele envolve todo o raciocínio das informações anteriores, além de possuir uma aplicação mais concreta.

Nesse sentido, todo teorema deve possuir uma explicação mais completa e detalhada, ou seja, uma demonstração. 

Conceitos primitivos

Vamos listar alguns exemplos de conceitos primitivos para que fique mais claro e fácil para você entender esse sistema, beleza?

Alguns conceitos primitivos na geometria plana são:

• Ponto
• Reta
• Plano

Repare que, como estes elementos são elementares, eles não possuem definição. Assim, as explicações podem variar de leitor para leitor, conforme sua lógica e opinião.

Exemplos de axiomas

Vamos listar também alguns exemplos de axiomas:

• Na reta (e também fora dela) existem infinitos pontos;
• Dois pontos distintos determinam uma, e somente uma, reta;
• Três pontos que não são colineares determinam um único plano;
• A menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que une estes dois pontos;
• Postulado de Euclides: através de um ponto fora de uma reta passa uma, e somente uma, reta a qual é paralela à reta dada.

Em razão de tamanha veracidade deste último postulado, alguns autores costumam chamar a geometria plana de geometria euclidiana.