Agrupamento

A fatoração por agrupamento é um tipo de “evolução” da fatoração por fator comum. Ela consiste, basicamente, em dois passos, nos quais aplicamos o fator comum.

Iremos explicar através de um exemplo. Para isso, considere a expressão

$$ax+ay+bx+by$$

Observe que nos dois primeiros termos \(ax\) e \(ay\), \(a\) é fator comum; colocando-o em evidência, obtemos:

$$a\cdot(x+y)+bx+by$$

E do mesmo modo, nos dois últimos termos, \(b\) é fator comum:

$$a\cdot(x+y)+b\cdot(x+y)$$

Agora note, a expressão inicial se tornou uma outra com dois termos:

$$a\cdot(x+y)$$

e

$$b\cdot(x+y)$$

e veja que a expressão \(x+y\) é fator comum em ambas, ou seja, podemos colocá-la em evidência:

$$(x+y)\cdot(a+b)$$

de modo que, para determinarmos o que vem dentro dos segundos parênteses, dividimos cada termo da expressão

$$a\cdot(x+y)+b\cdot(x+y)$$

pelo fator comum

$$x+y$$

isto é

$$\frac{a\cdot(x+y)}{x+y}=a$$

e

$$\frac{b\cdot(x+y)}{x+y}=b$$

Portanto, a forma completa fatorada da expressão

$$ax+ay+bx+by$$

é igual a

$$(x+y)\cdot(a+b)$$

Verifique, também, que se aplicarmos a propriedade distributiva acima, iremos chegar na expressão inicial do nosso exemplo.

Para fatorar a expressão

$$2x-4+x^{3}-2x^{2}$$

note que o número 2 é fator comum dos dois primeiros termos:

$$2x-4=2\cdot(x-2)$$

enquanto \(x^{2}\) é fator comum dos dois últimos:

$$x^{2}\cdot(x-2)$$

Assim, a expressão fica

$$2x-4+x^{3}-2x^{2}=2\cdot(x-2)+x^{2}\cdot(x-2)$$

e, claramente, \(x-2\) é fator comum entre ambas, ou seja:

$$(x-2)\cdot(2+x^{2})$$

completando a fatoração.